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欧拉函数计算公式证明

来源:www.wysploarpark.com 时间:2024-07-11 18:52:22 作者:熟虑计算网 浏览: [手机版]

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欧拉函数计算公式证明(1)

什么是欧拉函数?

欧拉函数是数论中的一种函数,表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数,记为φ(n)来自www.wysploarpark.com。例如,φ(6)=2,因为小于等于6的正整数中,与6互质的数只有15。

欧拉函数的计算公式

欧拉函数有一个要的计算公式,即欧拉乘积公式。该公式表示,如n以分解为不同质数的乘积,即n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak,其中p1,p2,...,pk是不同的质数,a1,a2,...,ak是正整数,那么φ(n)以用以下公式计算:

  φ(n) = n * (1-1/p1) * (1-1/p2) * ... * (1-1/pk)

例如,对于n=6,以将其分解为2^1 * 3^1,因此φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1-1/3) = 2熟.虑.计.算.网

欧拉函数计算公式证明(2)

欧拉乘积公式的证明

为了证明欧拉乘积公式,我们需要先证明一个引理:

引理:如p是质数,那么φ(p) = p-1。

  证明:对于任意小于等于p的正整数k,如k与p互质,那么k一定不是p的数,因此小于等于p的正整数中,与p互质的数的个数就是p-1。因此,φ(p) = p-1wysploarpark.com

  现在我们考虑将n分解为不同质数的乘积。假设n以分解为p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak,其中p1,p2,...,pk是不同的质数,a1,a2,...,ak是正整数。

我们以将小于等于n的正整数分为类:一类是与n不互质的数,另一类是与n互质的数熟~虑~计~算~网。对于一类数,们一定是n的数,因此们的个数是n/p1 + n/p2 + ... + n/pk。对于二类数,们与n的质因子p1,p2,...,pk都不相同,因此们的个数以表示为φ(p1^a1) * φ(p2^a2) * ... * φ(pk^ak)。

  根引理,φ(p1^a1) = p1^a1 * (1-1/p1),因此

φ(p1^a1) * φ(p2^a2) * ... * φ(pk^ak) = p1^a1 * (1-1/p1) * p2^a2 * (1-1/p2) * ... * pk^ak * (1-1/pk)

  将n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak代入上式,

  φ(n) = n * (1-1/p1) * (1-1/p2) * ... * (1-1/pk)

  因此,欧拉乘积公式EBtV

结论

欧拉函数是数论中的一种函数,表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。欧拉乘积公式是一个要的计算公式,以用于计算任意正整数的欧拉函数值。欧拉乘积公式的证明基于一个引理,该引理说明了质数的欧拉函数值熟 虑 计 算 网

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